Triángulos congruentes, Pitágoras y álgebra

Observa con detenimiento la figura. H es un punto del arco de circunferencia de radio 1 y centro el vértice opuesto al vértice del que sale un segmento unitario. El otro extremo de este segmento y el punto H son los vértices opuestos del cuadrado lila.

1.- Expresa en castellano cómo quedan determinados los cuadrados naranjas.

2.- ¿Cuál es el área de los dos cuadrados naranjas?

Sumatorio

1.- Calcula e interpreta el resultado:

2.- Calcula e interpreta el resultado:

3.- Opera en el anterior sumatorio usando los números combinatorios, también llamados números binómicos, para llegar a:

En busca de patrones

1.- ¿De qué depende que un número periódico sea puro o mixto?

2.- Observa que los inversos de los números primos excepto 2 y 5, son números periódicos puros. Observa detenidamente el periodo, por ejemplo, su longitud. ¿Qué más observas?

Para obtener el periodo de algunas fracciones tu calculadora resulta inútil, deberás usar la calculadora en línea WolframAlpha ¡El inconveniente es que la respuesta es una imagen!

1/2   = 0,50
1/3   = 0,3
1/5   = 0,20
1/7   = 0,142857
1/11 = 0,09
1/13 = 0,076923
1/17 = 0,0588235294117647
1/19 = 0,052631578947368421
1/23 = 0,0434782608695652173913
1/29 = 0,0344827586206896551724137931
1/31 = 0,032258064516129
1/37 = 0,027
1/39 = 0,025641 ¡Ojo, 39 no es primo!
1/41 = 0,02439
1/43 = 0,023255813953488372093
1/47 = 0,0212765957446808510638297872340425531914893617
1/49 = 0,020408163265306122448979591836734693877551 ¡Ojo, 49 no es primo!
1/53 = 0,0188679245283
1/59 = ... ¡Tiene un periodo de longitud 58!
...

Las cifras en rojo se repiten ilimitadamente y se conocen como periodo. El número de cifras del periodo se dice longitud del periodo. 

Combinatoria

Los números combinatorios y el triángulo de Pascal también conocido como triángulo de Tartaglia se estudian en la ESO (Enseñanza Secundaria Obligatoria). Otros problemas combinatorios dan lugar a otros números y sus correspondientes triángulos.

¿Cuántas particiones de 3 subconjuntos se pueden hacer en un conjunto de 5 elementos? 

Una sucesión convergente

En Bachillerato apenas se estudia la convergencia de una sucesión. Como mucho la sucesión cuyo límite es el número e (número de Euler).

¡Sorpresa, los números e y π relacionados!

A partir de este límite resulta sencillo obtener el siguiente límite o viceversa:

Divisibilidad

Demuestra que 10ⁿ - 4 es múltiplo de 12 para n número natural mayor que 1. ¿Es múltiplo de 8 para algún n mayor que 2?

Acotación y monotonía de una sucesión

Demuestra que la sucesión {a_n} es acotada y estrictamente creciente.

En busca de una fracción

Busca una fracción comprendida entre treinta y tres cienavos y un tercio cuyo denominador sólo tenga una cifra decimal.

En caso de que no exista razona tu respuesta y encuentra una fracción comprendida entre treinta y tres cienavos y un tercio con el denominador más pequeño posible.

Comienza una nueva etapa en mi vida

¡Todo es temporal y el tiempo corre que vuela! Nunca pensé que lo haría pero las circunstancias me han obligado a solicitar la jubilación voluntaria. Ya lo dijo el filósofo español José Ortega y Gasset, "Yo soy yo y mi circunstancia, y si no la salvo a ella no me salvo yo". Pues eso, la circunstancia no siempre es fácil de salvar, así que no me he salvado de entrar anticipadamente en esta nueva etapa de mi vida.

Quiero usar este blog (bitácora​ en línea o diario personal) para compartir con todos vosotros, los internautas que navegáis de un sitio a otro, mis intereses personales, especialmente contenido matemático, y también para seguir teniendo activa mi mente en esta nueva etapa de mi vida. De momento espero publicar con cierta frecuencia y también me gustaría que vosotros los internautas quisierais hacer una parada en mi blog, os apetezca seguirme y queráis participar de mis contenidos con vuestros comentarios.