¡Último día de mis vacaciones!

Para hoy lunes, 31 de agosto de 2020, tenía previsto la siguiente propuesta:

La sucesión de Fibonacci

¿Alguien me puede explicar dónde aparece la sucesión de Fibonacci en esta flor del girasol?

Relación de la sucesión de Fibonacci con

1.- El número áureo: qué empeño tienen algunos en encontrar la sucesión de Fibonacci y el número áureo en cualquier parte, en el Arte y en la Naturaleza. Por ejemplo, la razón entre abejas hembra y macho en una colmena suele ser similar a la razón áurea :-)

2.- La coprimalidad: dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci son coprimos.
3.- Los números primos. ¿Contiene la sucesión de Fibonacci una infinidad de números primos?
4.- Las ternas pitagóricas.
5.- El triángulo de Pascal: en ese empeño de buscar la sucesión de Fibonacci en cualquier parte, ¡voilá! también la encontramos en el triángulo de Pascal.
6.- La aritmética modular: teorema de Lagrange.

Pero son unas vacaciones muy especiales pues mañana no será mi primer día de vuelta al trabajo. ¡Mañana será mi primer día de jubilado! ¡Todo es temporal y el tiempo es imparable! Sigo manteniendo activa mi mente en esta nueva etapa de mi vida. El número de seguidores y comentarios en mi blog es 0, así que he decidido tomarme un descanso y voy a cambiar de tarea: revisar mis tuits con la etiqueta #iprmat que usaba con mis alumnos de Matemáticas.

https://twitter.com/hashtag/iprmat

La duplicación del cubo

En el siglo V a. C. Atenas sufría una epidemia en la que por cierto murió Pericles y acudieron al oráculo de Delfos, en el templo de Apolo, lugar sagrado donde se acudía en busca de respuestas divinas. En la vida de los griegos la adivinación (¡esta sorprendente mezcla de racionalidad e irracionalidad ha continuado a lo largo de toda la Historia y todavía perdura en nuestros días!) era una cuestión de Estado y se trataba de una institución oficial, de ahí la obligación de consultar los oráculos en momentos trascendentales. Y el oráculo de Apolo les contestó que debían sustituir su altar, que tenía forma de cubo, por otro del doble de volumen. ¿Qué seles, sacerdotes del oráculo, estaban detrás de las respuestas tan inteligentes de los dioses?

Este problema se conoce como la duplicación del cubo. Los matemáticos griegos resolvían los problemas de Geometría con regla y compás. ¡No lo consiguieron!

La recta de Simson

Lugar geométrico de los puntos del plano P tales que los tres pies de las rectas perpendiculares a los lados (o sus prolongaciones) de un triángulo ABC están alineados (recta de Simson). En otro caso los tres pies forman un triángulo: el triángulo podal de P respecto del triángulo ABC.

¡Más geometría... analítica!

1.- Recta tangente a una circunferencia.

2.- El radio de una circunferencia es perpendicular a la recta tangente.

3.- Curvas planas en coordenadas polares.

4.- Curvas planas en paramétricas.

Curvas planas algebraicas de grado k

1.- ¿Qué es una curva plana?

2.- ¿Qué es una curva plana algebraica de grado k (k número natural)?

3.- Ejemplos.

4.- Problema: halla los puntos de corte de las curvas algebraicas planas 

• C₁≡x³+9x²y=10
• C₂≡y³+xy²=2

¿Y si movemos dos puntos?

Sea ABCD un cuadrado, y BD un arco de circunferencia con centro en A y radio AB. Vamos a mover dos puntos:

* El punto E sobre el arco BD

* El punto F sobre el lado AD

¿Y cómo movemos los puntos E y F?

Los dos puntos empiezan en el punto D y se desplazan a velocidad constante, E sobre el arco CD y F sobre el lado AD, y ambos puntos terminan a la vez, E en el punto B y F en el punto A.

Lugar geométrico que describe el punto P, intersección del radio AE y la recta perpendicular al lado AD en el punto F.

Lugar geométrico dinámico en el plano

Lugar geométrico que describe un punto en el plano "al mover otro punto".

Sea una circunferencia de radio r y una recta tangente a ella. Sea T el punto de tangencia y A el punto de la circunferencia diametralmente opuesto a T.

Lugar geométrico de los puntos del plano P que cumplen dos condiciones:

1.- P está sobre el segmento determinado por A y R siendo R un punto que se mueve sobre la recta tangente.
2.- d(A,P) = d(Q,R) siendo Q el punto de intersección de la circunferencia y el segmento determinado por A y R.

Bisectrices de un triángulo

1.- Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas.

2.- La bisectrices interior y exterior de un mismo ángulo en un triángulo son rectas perpendiculares.

3.- En todo triangulo la bisectriz de un ángulo interior divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados adyacentes.

4.- En todo triángulo la bisectriz de un ángulo exterior divide a la prolongación del lado opuesto en dos segmentos cuyas medidas son proporcionales a los lados que forman el ángulo interior suplementario del angulo exterior (los lados no prolongados).

5.- Las alturas de un triangulo no rectángulo son las bisectrices del triangulo órtico, triángulo pedal o podal del ortocentro, triángulo cuyos vértices son los pies de las alturas.

De vuelta a la Geometría: más sobre cuadrados

¿Dos segmentos perpendiculares en el interior de un cuadrado con los extremos en los lados tienen la misma longitud?

Cuadrados mágicos

Melancolía I, grabado en 1514 por Alberto Durero, pintor renacentista.

Observa el cuadrado mágico en la parte superior derecha. ¿Qué es un cuadrado mágico?

Cuadrados grecolatinos

1.- ¿Qué es un cuadrado grecolatino?

2.- Conjetura de Euler: no existen cuadrados grecolatinos para ningún número n ≡ 2 (mod 4): 6, 10, 14, 18, 22, ...

3.- Dispón los ases, sotas, caballos y reyes de una baraja española sobre una tabla 4x4 de forma que en cada fila y en cada columna aparezcan  las cuatro figuras y los cuatro palos.

Una serie en la que aparece π

Tablas numéricas

Dispón los primeros a² números naturales en una tabla axa con a=2..9 de forma que los productos de los números de las diferentes filas coincida con los productos de los números de las diferentes columnas.

Para a = 9: tabla 9x9 ... los primeros 81 números naturales

1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25	26	27
28	29	30	31	32	33	34	35	36
37	38	39	40	41	42	43	44	45
46	47	48	49	50	51	52	53	54
55	56	57	58	59	60	61	62	63
64	65	66	67	68	69	70	71	72
73	74	75	76	77	78	79	80	81

Números primos

1.- ¿Es 1 un número primo?

2.- ¿Hay un término general para la sucesión de números primos?

3.- Escribe los primeros términos de la sucesión [a_n] ([ ] significa parte entera) donde a_n está definida por recurrencia:

a₁ = a un número real cualquiera
a_n =  [a_n-1] (a_n-1 - [a_n-1] + 1)  para todo número natural mayor que 1

Todos nos equivocamos, también Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci, en la página 75R del códice Madrid I, manuscrito encontrado en los archivos de la Biblioteca Nacional de España, en Madrid, en 1964, se equivoca calculando 2¹³ al duplicar 2¹² = 4096 y escribir 8092 en lugar de 8192 y por tanto las sucesivas potencias de 2 arrastrarán dicho error.

Demuestra por inducción que para todo número natural n, Σ_i=0..n2ⁱ=2ⁿ⁺¹ - 1

Test de primalidad de Fermat

Teorema pequeño de Fermat

a y p coprimos
p primo ⇒ a^p-1 ≡ 1 (mod p)

La proposición recíproca es falsa
¿341 es un contraejemplo? 2 y 341 son coprimos, 2³⁴⁰ ≡ 1 (mod 341) y sin embargo 341 no es primo 

π es un número irracional

Johann Heinrich Lambert lo demostró en 1761 :-)

Fracciones continuas simples

1.- Todo número real se puede escribir como una fracción continua simple.
2.- Fracción continua simple de un número racional.
3.- Expresa como fracción continua simple los siguientes números reales: 238/955, √2, √3, Φ y π.

Algoritmos

1.- ¿Qué es un algoritmo?

2.- Algoritmo de Euclides.

3.- Algoritmo ruso del producto.

Conjeturas sobre los números perfectos

1.- ¿Qué es un número perfecto? ¿Cuántos se conocen? ¿Habrá infinitos? ¿Los habrá impares?

Sea m = 2^p−1

2.- ¿Es verdadera la siguiente proposición?

m primo si y sólo si p primo

3.- ¿Es verdadera la siguiente proposición?

m es un número primo (primo de Mersenne) si y sólo si m(m+1)/2 es un número perfecto

Reducción al absurdo

1.- ¿En qué consiste la demostración por reducción al absurdo?

2.- Demuestra la siguiente proposición: en el plano, dos rectas distintas perpendiculares a otra recta son paralelas.

Triángulos congruentes, Pitágoras y álgebra

Observa con detenimiento la figura. H es un punto del arco de circunferencia de radio 1 y centro el vértice opuesto al vértice del que sale un segmento unitario. El otro extremo de este segmento y el punto H son los vértices opuestos del cuadrado lila.

1.- Expresa en castellano cómo quedan determinados los cuadrados naranjas.

2.- ¿Cuál es el área de los dos cuadrados naranjas?

Sumatorio

1.- Calcula e interpreta el resultado:

2.- Calcula e interpreta el resultado:

3.- Opera en el anterior sumatorio usando los números combinatorios, también llamados números binómicos, para llegar a:

En busca de patrones

1.- ¿De qué depende que un número periódico sea puro o mixto?

2.- Observa que los inversos de los números primos excepto 2 y 5, son números periódicos puros. Observa detenidamente el periodo, por ejemplo, su longitud. ¿Qué más observas?

Para obtener el periodo de algunas fracciones tu calculadora resulta inútil, deberás usar la calculadora en línea WolframAlpha ¡El inconveniente es que la respuesta es una imagen!

1/2   = 0,50
1/3   = 0,3
1/5   = 0,20
1/7   = 0,142857
1/11 = 0,09
1/13 = 0,076923
1/17 = 0,0588235294117647
1/19 = 0,052631578947368421
1/23 = 0,0434782608695652173913
1/29 = 0,0344827586206896551724137931
1/31 = 0,032258064516129
1/37 = 0,027
1/39 = 0,025641 ¡Ojo, 39 no es primo!
1/41 = 0,02439
1/43 = 0,023255813953488372093
1/47 = 0,0212765957446808510638297872340425531914893617
1/49 = 0,020408163265306122448979591836734693877551 ¡Ojo, 49 no es primo!
1/53 = 0,0188679245283
1/59 = ... ¡Tiene un periodo de longitud 58!
...

Las cifras en rojo se repiten ilimitadamente y se conocen como periodo. El número de cifras del periodo se dice longitud del periodo. 

Combinatoria

Los números combinatorios y el triángulo de Pascal también conocido como triángulo de Tartaglia se estudian en la ESO (Enseñanza Secundaria Obligatoria). Otros problemas combinatorios dan lugar a otros números y sus correspondientes triángulos.

¿Cuántas particiones de 3 subconjuntos se pueden hacer en un conjunto de 5 elementos? 

Una sucesión convergente

En Bachillerato apenas se estudia la convergencia de una sucesión. Como mucho la sucesión cuyo límite es el número e (número de Euler).

¡Sorpresa, los números e y π relacionados!

A partir de este límite resulta sencillo obtener el siguiente límite o viceversa:

Divisibilidad

Demuestra que 10ⁿ - 4 es múltiplo de 12 para n número natural mayor que 1. ¿Es múltiplo de 8 para algún n mayor que 2?

Acotación y monotonía de una sucesión

Demuestra que la sucesión {a_n} es acotada y estrictamente creciente.

En busca de una fracción

Busca una fracción comprendida entre treinta y tres cienavos y un tercio cuyo denominador sólo tenga una cifra decimal.

En caso de que no exista razona tu respuesta y encuentra una fracción comprendida entre treinta y tres cienavos y un tercio con el denominador más pequeño posible.

Comienza una nueva etapa en mi vida

¡Todo es temporal y el tiempo corre que vuela! Nunca pensé que lo haría pero las circunstancias me han obligado a solicitar la jubilación voluntaria. Ya lo dijo el filósofo español José Ortega y Gasset, "Yo soy yo y mi circunstancia, y si no la salvo a ella no me salvo yo". Pues eso, la circunstancia no siempre es fácil de salvar, así que no me he salvado de entrar anticipadamente en esta nueva etapa de mi vida.

Quiero usar este blog (bitácora​ en línea o diario personal) para compartir con todos vosotros, los internautas que navegáis de un sitio a otro, mis intereses personales, especialmente contenido matemático, y también para seguir teniendo activa mi mente en esta nueva etapa de mi vida. De momento espero publicar con cierta frecuencia y también me gustaría que vosotros los internautas quisierais hacer una parada en mi blog, os apetezca seguirme y queráis participar de mis contenidos con vuestros comentarios.