¡Último día de mis vacaciones!

Para hoy lunes, 31 de agosto de 2020, tenía previsto la siguiente propuesta:

La sucesión de Fibonacci

¿Alguien me puede explicar dónde aparece la sucesión de Fibonacci en esta flor del girasol?

Relación de la sucesión de Fibonacci con

1.- El número áureo: qué empeño tienen algunos en encontrar la sucesión de Fibonacci y el número áureo en cualquier parte, en el Arte y en la Naturaleza. Por ejemplo, la razón entre abejas hembra y macho en una colmena suele ser similar a la razón áurea :-)

2.- La coprimalidad: dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci son coprimos.
3.- Los números primos. ¿Contiene la sucesión de Fibonacci una infinidad de números primos?
4.- Las ternas pitagóricas.
5.- El triángulo de Pascal: en ese empeño de buscar la sucesión de Fibonacci en cualquier parte, ¡voilá! también la encontramos en el triángulo de Pascal.
6.- La aritmética modular: teorema de Lagrange.

Pero son unas vacaciones muy especiales pues mañana no será mi primer día de vuelta al trabajo. ¡Mañana será mi primer día de jubilado! ¡Todo es temporal y el tiempo es imparable! Sigo manteniendo activa mi mente en esta nueva etapa de mi vida. El número de seguidores y comentarios en mi blog es 0, así que he decidido tomarme un descanso y voy a cambiar de tarea: revisar mis tuits con la etiqueta #iprmat que usaba con mis alumnos de Matemáticas.

https://twitter.com/hashtag/iprmat

La duplicación del cubo

En el siglo V a. C. Atenas sufría una epidemia en la que por cierto murió Pericles y acudieron al oráculo de Delfos, en el templo de Apolo, lugar sagrado donde se acudía en busca de respuestas divinas. En la vida de los griegos la adivinación (¡esta sorprendente mezcla de racionalidad e irracionalidad ha continuado a lo largo de toda la Historia y todavía perdura en nuestros días!) era una cuestión de Estado y se trataba de una institución oficial, de ahí la obligación de consultar los oráculos en momentos trascendentales. Y el oráculo de Apolo les contestó que debían sustituir su altar, que tenía forma de cubo, por otro del doble de volumen. ¿Qué seles, sacerdotes del oráculo, estaban detrás de las respuestas tan inteligentes de los dioses?

Este problema se conoce como la duplicación del cubo. Los matemáticos griegos resolvían los problemas de Geometría con regla y compás. ¡No lo consiguieron!

La recta de Simson

Lugar geométrico de los puntos del plano P tales que los tres pies de las rectas perpendiculares a los lados (o sus prolongaciones) de un triángulo ABC están alineados (recta de Simson). En otro caso los tres pies forman un triángulo: el triángulo podal de P respecto del triángulo ABC.

¡Más geometría... analítica!

1.- Recta tangente a una circunferencia.

2.- El radio de una circunferencia es perpendicular a la recta tangente.

3.- Curvas planas en coordenadas polares.

4.- Curvas planas en paramétricas.

Curvas planas algebraicas de grado k

1.- ¿Qué es una curva plana?

2.- ¿Qué es una curva plana algebraica de grado k (k número natural)?

3.- Ejemplos.

4.- Problema: halla los puntos de corte de las curvas algebraicas planas 

• C₁≡x³+9x²y=10
• C₂≡y³+xy²=2

¿Y si movemos dos puntos?

Sea ABCD un cuadrado, y BD un arco de circunferencia con centro en A y radio AB. Vamos a mover dos puntos:

* El punto E sobre el arco BD

* El punto F sobre el lado AD

¿Y cómo movemos los puntos E y F?

Los dos puntos empiezan en el punto D y se desplazan a velocidad constante, E sobre el arco CD y F sobre el lado AD, y ambos puntos terminan a la vez, E en el punto B y F en el punto A.

Lugar geométrico que describe el punto P, intersección del radio AE y la recta perpendicular al lado AD en el punto F.

Lugar geométrico dinámico en el plano

Lugar geométrico que describe un punto en el plano "al mover otro punto".

Sea una circunferencia de radio r y una recta tangente a ella. Sea T el punto de tangencia y A el punto de la circunferencia diametralmente opuesto a T.

Lugar geométrico de los puntos del plano P que cumplen dos condiciones:

1.- P está sobre el segmento determinado por A y R siendo R un punto que se mueve sobre la recta tangente.
2.- d(A,P) = d(Q,R) siendo Q el punto de intersección de la circunferencia y el segmento determinado por A y R.